Qual è l'opzione corretta dalla domanda data? ps - Ho ricevuto 98 come risposta ma non è corretto (? idk forse la risposta data in fondo è sbagliata, puoi anche vedere e ricontrollare la mia soluzione, ho allegato la soluzione sotto la domanda)

Risposta:

#98# è la risposta corretta.

Spiegazione:

Dato:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Dividere da #4# noi troviamo:

# X ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0 x + 1/4 in classifica

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Così:

# {((alpha + beta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Così:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (bianco) (49/16) = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (bianco) (49/16) = alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

e:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (bianco) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) #

#color (bianco) (7/8) = alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

Così:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (bianco) (49/128) = (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (bianco) (49/128) = alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Così:

#alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4) / (alphabetagamma) ^ 4 #

#color (bianco) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (bianco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (bianco) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Risposta:

#98#

Spiegazione:

In alternativa, come controllo extra, si noti che le radici di:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

sono i reciproci delle radici di:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Quindi possiamo trovare # Alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # per le radici di questo cubo per calcolare #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # per le radici del cubo originale.

Dato:

# X ^ 3 + 0 x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Noi troviamo:

# {((alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):} #

Così:

# Alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

# = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# Alpha ^ 2B ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# Alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #