Qual è il dominio e l'intervallo della funzione: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Risposta:

Il dominio è # (- oo, oo) # e la gamma #0, 1/2#

Spiegazione:

Dato:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Si noti che per qualsiasi valore reale di #X#, il denominatore # 1 + x ^ 4 # è diverso da zero.

Quindi #f (x) # è ben definito per qualsiasi valore reale di #X# e il suo dominio è # (- oo, oo) #.

Per determinare l'intervallo, lasciare:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Moltiplica entrambe le estremità di # 1 + x ^ 4 # ottenere:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

sottraendo # X ^ 2 # da entrambi i lati, possiamo riscrivere questo come:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Questo avrà solo soluzioni reali se il suo discriminante è non negativo. Mettendo # A = y #, # B = -1 # e # C = y #, il discriminante #Delta# è dato da:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Quindi abbiamo bisogno di:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Quindi:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Così # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Inoltre, nota #f (x)> = 0 # per tutti i valori reali di #X#.

Quindi # 0 <= y <= 1/2 #

Quindi la gamma di #f (x) # è #0, 1/2#