Domanda n. Dbd28

Risposta:

Definire la distanza tra il grafico e il punto come una funzione e trovare il minimo.

Il punto è #(3.5,1.871)#

Spiegazione:

Per sapere quanto sono vicini, è necessario conoscere la distanza. La distanza euclidea è:

#sqrt (Ax ^ 2 + Ay ^ 2) #

dove Δx e Δy sono le differenze tra i 2 punti. Per essere il punto più vicino, quel punto deve avere la distanza minima. Pertanto, abbiamo impostato:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Ora dobbiamo trovare il minimo di questa funzione:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Il denominatore è sempre positivo come funzione radice quadrata. Il numeratore è positivo quando:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

Quindi la funzione è positiva quando #x> 3.5 #. Allo stesso modo, può essere provato che è negativo quando #x <3.5 # Pertanto, ci funzione #f (x) # ha un minimo a # X = 3.5 #, il che significa che la distanza è minima # X = 3.5 # La coordinata y di # Y = x ^ (1/2) # è:

# Y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Infine, il punto in cui si osserva la minima distanza da (4,0) è:

#(3.5,1.871)#