Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Risposta:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Spiegazione:

noi cerchiamo:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Quando valutiamo un limite, osserviamo il comportamento della funzione "vicino" al punto, non necessariamente il comportamento della funzione "al" punto in questione, quindi come #x rarr 0 #, in nessun momento dobbiamo considerare cosa succede a # X = 0 #Quindi otteniamo il risultato banale:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Per chiarezza un grafico della funzione per visualizzare il comportamento in giro # X = 0 #

graph {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Dovrebbe essere chiarito che la funzione # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # è indefinito a # X = 0 #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Le definizioni di limite di una funzione che uso sono equivalenti a:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # se e solo di Per ogni positivo #epsilon#, c'è un positivo #delta# tale che per tutti #X#, Se # 0 <abs (x-a) <delta # poi #abs (f (x) - L) <epsilon #

A causa del significato di "#abs (f (x) - L) <epsilon #", questo richiede quello per tutti #X# con # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # è definito.

Cioè, per il richiesto #delta#, tutto di # (Un triangolo, un + delta) # tranne forse #un#, si trova nel dominio di # F #.

Tutto ciò ci ottiene:

#lim_ (xrarra) f (x) # esiste solo se # F # è definito in alcuni intervalli aperti contenenti #un#, tranne forse a #un#.

(# F # deve essere definito in qualche quartiere aperto eliminato di #un#)

Perciò, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # non esiste.

Un esempio quasi banale

#f (x) = 1 # per #X# un vero irrazionale (non definito per i razionali)

#lim_ (xrarr0) f (x) # non esiste.