Come trovi la somma delle infinite serie geometriche 10 (2/3) ^ n quando n = 2?

Risposta:

La risposta è o #40/9# o #40/3# a seconda di cosa si intendeva per la domanda.

Spiegazione:

Bene se #n = 2 # allora non c'è una somma, la risposta è giusta:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Ma forse la domanda era intesa a chiedere che la somma infinita fosse presa a partire da # N = 2 # tale che l'equazione è:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

In questo caso, lo calcoliamo notando innanzitutto che qualsiasi serie geometrica può essere vista come della forma:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

In questo caso, la nostra serie ha #a = 10 # e #r = 2/3 #.

Noteremo anche che:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Quindi possiamo semplicemente calcolare la somma di una serie geometrica # (2/3) ^ n # e quindi moltiplica la somma per #10# per arrivare al nostro risultato. Questo rende le cose più facili.

Abbiamo anche l'equazione:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Questo ci permette di calcolare la somma delle serie a partire da # N = 0 #. Ma vogliamo calcolarlo da # N = 2 #. Per fare ciò, semplicemente sottraiamo il # N = 0 # e # N = 1 # termini dall'intero importo. Scrivendo i primi termini della somma, possiamo vedere che assomiglia a:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Possiamo vederlo:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#