Qual è il dominio e l'intervallo di y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Risposta:

Dominio: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Gamma: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Spiegazione:

Il dominio è tutti i valori di # Y # dove # Y # è una funzione definita.

Se il denominatore è uguale a #0#, la funzione è in genere non definita. Quindi qui, quando:

# X + 3 = 0 #, la funzione non è definita.

Pertanto, a # x = -3 #, la funzione non è definita.

Quindi, il dominio è dichiarato come # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

L'intervallo è tutti i valori possibili di # Y #. Si trova anche quando il discriminante della funzione è inferiore a #0#.

Per trovare il discriminante (#Delta#), dobbiamo rendere l'equazione un'equazione quadratica.

# Y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# Xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# X ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# X ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3Y) = 0 #

Questa è un'equazione quadratica in cui # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Da # Delta = b ^ 2-4ac #, possiamo inserire:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3Y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12Y #

# Delta = y ^ 2 + 14Y + 5 #

Un'altra espressione quadratica, ma qui, da allora #Delta> = 0 #, è una disuguaglianza della forma:

# Y ^ 2 + 14Y + 5> = 0 #

Risolviamo per # Y #. I due valori di # Y # otterremo saranno i limiti superiore e inferiore dell'intervallo.

Dal momento che possiamo fattore # Ay ^ 2 + by + c # come # (Y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #, possiamo dire, qui:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Inserimento:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Quindi i fattori sono # (Y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0 #

Così #y> = 2sqrt (11) -7 # e #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

Nella notazione intervallo possiamo scrivere l'intervallo come:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #