Come risolvete la disuguaglianza 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Risposta:

#x <- 5/2 colori (bianco) (xx) # o #color (bianco) (xx) -1 <x <2 #

Spiegazione:

Prima di tutto, nota che la tua disuguaglianza è definita solo se i tuoi denominatori non sono uguali a zero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Ora, il tuo prossimo passo sarebbe quello di "sbarazzarti" delle frazioni. Questo può essere fatto se si moltiplicano entrambi i lati della disuguaglianza con # x + 1 # e # x-2 #.

Tuttavia, è necessario fare attenzione poiché se si moltiplica una disuguaglianza con un numero negativo, è necessario capovolgere il segno di disuguaglianza.

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Consideriamo i diversi casi:

caso 1: #color (bianco) (xxx) x> 2 #:

Tutti e due #x + 1> 0 # e #x - 2> 0 # tenere. Quindi, ottieni:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… calcolo # # -3x e #+2# su entrambi i lati…

# -2x> 5 #

… dividi per #-2# su entrambi i lati. Come #-2# è un numero negativo, devi capovolgere il segno di disuguaglianza …

#x <- 5/2 #

Tuttavia, non c'è #X# che soddisfa entrambe le condizioni #x> 2 # e #x <- 5/2 #. Quindi, non c'è soluzione in questo caso.

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caso 2: #color (bianco) (xxx) -1 <x <2 #:

Qui, #x + 1> 0 # ma #x - 2 <0 #. Pertanto, è necessario capovolgere il segno di disuguaglianza una volta e si ottiene:

#color (bianco) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (bianco) (x) -2x <5 #

… dividi per #-2# e capovolgi nuovamente il segno di disuguaglianza …

#color (bianco) (xxx) x> -5 / 2 #

La disuguaglianza #x> -5 / 2 # è vero per tutti #X# nell'intervallo # -1 <x <2 #. Quindi, in questo caso, abbiamo la soluzione # -1 <x <2 #.

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caso 3: #color (bianco) (xxx) x <-1 #:

Qui, entrambi i denominatori sono negativi. Quindi, se moltiplichi la disuguaglianza con entrambi, devi capovolgere il segno di disuguaglianza due volte e otterrai:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (bianco) (i) -2x> 5 #

#color (bianco) (xxi) x <- 5/2 #

Come condizione #x <-5 / 2 # è più restrittivo della condizione #x <-1 #, la soluzione per questo caso è #x <- 5/2 #.

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In totale, la soluzione è

#x <- 5/2 colori (bianco) (xx) # o #color (bianco) (xx) -1 <x <2 #

oppure, se preferisci una notazione diversa,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Risposta:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Spiegazione:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

lascia passare tutto al lato sinistro della disuguaglianza sottraendo # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Ora dobbiamo, mettere tutte le disuguaglianze che abbiamo lo stesso denominatore. La parte con (x + 1) moltiplichiamo per # (X-2) / (x-2) # (che è 1!) e viceversa:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Abbiamo fatto il trucco prima, per avere tutte le diseguaglianze con lo stesso denominatore:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # corrisponde a una parabola che dà valori positivi nell'inervale # -oo, -1 uu 2, + oo # e valori negativi nell'intervallo #-1, 2#. Ricorda che x non può essere -1 o 2 a causa del denominatore zero.

Nel primo caso (denominatore positivo) possiamo semplificare la disequazione in:

# -2x-5> 0 # e #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

che dà:

#x <-5/2 # e #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

L'intercettazione degli intervalli sopra dà #x <-5/2 #.

Nel secondo caso, il denominatore è negativo, quindi per il risultato che dà un numero positivo, il numeratore deve essere negativo:

# -2x-5 <0 # e # x in -1, 2 #

che dà

#x> -5/2 #. e # x in -1, 2 #

L'intercettazione degli intervalli dà # x in -1, 2 #

Unendo le soluzioni dei due casi otteniamo:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #