Sia P (x_1, y_1) un punto e sia l la linea con l'equazione ax + di + c = 0.Mostra la distanza d da P-> l è data da: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Trova la distanza d del punto P (6,7) dalla linea l con l'equazione 3x + 4y = 11?

Risposta:

#d = 7 #

Permettere # l-> a x + b y + c = 0 # e # p_1 = (x_1, y_1) # un punto non attivo # L #.

Supponendo che #b ne 0 # e chiamando # D ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # dopo la sostituzione #y = - (a x + c) / b # in # D ^ 2 # noi abbiamo

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Il prossimo passo è trovare il # D ^ 2 # minimo riguardante #X# quindi troveremo #X# così

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Questo succede per

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Ora, sostituendo questo valore in # D ^ 2 # otteniamo

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # così

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Ora dato

# L-> 3x + 4y-11 = 0 # e # P_1 = (6,7) # poi

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #