Cos'è uno spazio Hilbert? + Esempio

Lo spazio di Hilbert è un insieme di elementi con determinate proprietà, vale a dire:

è uno spazio vettoriale (quindi, ci sono operazioni sui suoi elementi tipici per i vettori, come la moltiplicazione per un numero reale e l'aggiunta che soddisfa le leggi commutative e associative);

c'è un prodotto scalare (a volte chiamato interno o punto) tra due elementi qualsiasi che si traduce in un numero reale.

Ad esempio, il nostro spazio euclideo tridimensionale è un esempio di uno spazio di Hilbert con un prodotto scalare di # X = (x_1, x_2, x_3) # e # Y = (y_1, y_2, y_3) # uguale a # (X, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Un esempio più interessante è uno spazio di tutte le funzioni continue su un segmento # A, b # con un prodotto scalare definito come

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

Nella fisica quantistica lo spazio di Hilbert gioca un ruolo molto importante come funzione che descrive lo stato di un sistema # # Psi è un elemento di uno spazio di Hilbert.

Posso consigliare

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

come introduzione all'uso dello spazio di Hilbert in fisica quantistica.