Supponiamo che z = x + yi, dove xey sono numeri reali. Se (iz-1) / (z-i) è un numero reale, mostra che quando (x, y) non sono uguali (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Risposta:

Vedi sotto,

Come # Z = x + iy #

# (Iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (IX-(y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((IX-(y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (Ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Come # (Iz-1) / (z-i) # è reale

# (X ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # e # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Ora come # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # è la somma di due quadrati, può essere zero solo quando # X = 0 # e # Y = 1 # cioè

Se # (X, y) # non è #(0,1)#, # X ^ 2 + y ^ 2 = 1 #