Domanda # ecc3a

Risposta:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Spiegazione:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Risposta:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Spiegazione:

Ogni volta che abbiamo un quadratico al denominatore e no #X#Nel numeratore, vogliamo ottenere l'integrale nella seguente forma:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Nel nostro caso, possiamo farlo completando il quadrato e poi usando una sostituzione.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Vogliamo introdurre una sostituzione u in modo tale che:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Possiamo risolvere per #X# per capire cosa deve essere questa sostituzione:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2U #

# X = sqrt3 / 2U-1/2 #

Integrare rispetto a # U #, moltiplichiamo per la derivata di #X# riguardo a # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Ora possiamo risolvere # U # in termini di #X# reintegrare:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

Questo significa che la nostra risposta finale è:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #