Come si usa il primo test derivato per determinare gli estremi locali y = sin x cos x?

Risposta:

Gli estremi per # Y = sin (x) cos (x) # siamo

# X = pi / 4 + NPI / 2 #

con # N # un numero intero relativo

Spiegazione:

Essere #f (x) # la funzione che rappresenta la variazione di # Y # con repsect a #X#.

Essere #f '(x) # la derivata di #f (x) #.

#fa)# è la pendenza del #f (x) # curva al # x = a # punto.

Quando la pendenza è positiva, la curva aumenta.

Quando la pendenza è negativa, la curva sta diminuendo.

Quando la pendenza è nullo, la curva rimane allo stesso valore.

Quando la curva raggiunge un estremo, smetterà di aumentare / diminuire e inizierà a diminuire / aumentare. In altre parole, la pendenza passerà da positivo a negativo -o negativo a positivo- passando per il valore zero.

Pertanto, se stai cercando gli estremi di una funzione, dovresti cercare i valori nulli dei suoi derivati.

N.B. C'è una situazione in cui la derivata è nulla ma la curva non raggiunge un estremo: si chiama un punto di flesso. la curva smetterà momentaneamente di aumentare / diminuire e quindi riprendere il suo aumento / diminuzione. Quindi dovresti anche controllare se il segno della pendenza cambia attorno al suo valore nullo.

Esempio: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (DSIN (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (DCO (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Ora che abbiamo la formula per #f '(x) #, cercheremo i suoi valori nulli:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Le soluzioni sono # Pi / 4 + NPI / 2 # con # N # un numero intero relativo.

Risposta:

Anche se intendiamo utilizzare il primo test derivato, vale la pena di osservarlo #y = 1/2 sin (2x) #.

Spiegazione:

Avendo fatto questa osservazione, non abbiamo davvero bisogno del calcolo per trovare gli estremi.

Possiamo contare sulla nostra conoscenza della trigonometria e dei grafici delle funzioni sinusoidali

Il valore massimo (di 1/2) si verificherà quando # 2x = pi / 2 + 2pik # o quando #x = pi / 4 + pik # per #K# un numero intero

Il minimo si verifica a #x = 3pi / 4 + pik # per #K# un numero intero

Possiamo usare la derivata, ma non ne abbiamo davvero bisogno.

Usando il derivato

Avendo riscritto # Y #, possiamo vederlo rapidamente #y '= cos (2x) #

Quindi i numeri critici per # Y # siamo # 2x = pi / 2 + 2pik # e # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (quando il coseno è #0#) o

# x = pi / 4 + pik # e # x = (3pi) / 4 + pik #

Controllando il segno di #y '= cos (2x) #, troveremo i valori massimi alla prima serie di numeri critici e valori minimi al secondo.