Risolvi la domanda 39?

Risposta:

B

Spiegazione:

Innanzitutto, dovremmo fare uso del fatto che i numeri devono essere consecutivi, chiamando i numeri che scegliamo di essere # N-1, n, n + 1 #, dove se rispettiamo i vincoli # N # deve essere tra #-9# e #9# compreso.

Secondo, nota che se otteniamo un determinato valore per uno specifico # A, b, c #, possiamo scambiare intorno a quei valori specifici, ma otteniamo comunque lo stesso risultato. (Credo che questo sia chiamato permutabile ma dimentichi il termine corretto)

Quindi possiamo semplicemente lasciarlo # A = n-1 #,# B = n #,# C = n + 1 #, ora lo colleghiamo a:

# (A ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3ABC) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Ora il nostro problema diventa vedere per quali valori di # -9 <= n <= 9 # l'espressione fornisce valori interi, quanti valori differenti otteniamo.

Ho intenzione di continuare la soluzione in una risposta separata solo per renderlo più facile da leggere.

Risposta:

Parte 2 del mio sol'n. Questo userà l'aritmetica modulare, ma se non lo conosci, c'è sempre l'opzione del sottotitolo in tutti i valori necessari di # N #

Spiegazione:

Poiché l'espressione deve essere un valore intero, il fondo deve dividere esattamente la parte superiore. Quindi, il numeratore dovrebbe avere un fattore 3. E per questo dovremmo usare l'aritmetica modulare.

Esaminare per quale n soddisfa: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Ora i casi

1. Ci proviamo # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, che non funziona

2. Ci proviamo # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, che funziona

3. Ci proviamo # N = 3K-1 #:

# LHS = (3K-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, che non funziona

Quindi lo deduciamo # N # deve essere della forma # 3k + 1 #, o uno più di un multiplo di 3. Considerando il nostro raggio d'azione per n, essere # -9 <= n <= 9 #, abbiamo i possibili valori di:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

A questo punto potresti riuscire a usare il fatto # N = 3k + 1 #, ma con solo 6 valori da verificare ho deciso invece di calcolare ciascuno di essi, e l'unico valore per # N # quello funziona è # N = 1 #, producendo il risultato di #1#.

Quindi, alla fine, l'unico insieme di numeri consecutivi che produce un risultato intero è #0,1,2#, dando #1# quindi la risposta è # B #