Domanda n. 0df97

Risposta:

La risposta a 4 è # E ^ -2 #.

Spiegazione:

Il problema è:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ora questo è un problema difficile. La soluzione sta nel riconoscimento molto accurato del modello. Si può ricordare la definizione di # E #:

# E = lim_ (U> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Se potessimo riscrivere il limite come qualcosa vicino alla definizione di # E #, avremmo la nostra risposta. Quindi proviamolo

Nota che #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # è equivalente a:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Possiamo suddividere le frazioni in questo modo:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ci stiamo arrivando! Prendiamo in considerazione un #-2# dall'alto e dal basso:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (annulla (-2)) / (annulla (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Applichiamo la sostituzione # U = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2U-2) #

Le proprietà degli esponenti dicono: # X ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Così #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2U-2) # è equivalente a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2U) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Le proprietà degli esponenti dicono anche che: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Ciò significa che questo ulteriormente si riduce a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Per definizione, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; e usando la sostituzione diretta sui rendimenti del secondo limite:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Quindi la soluzione è …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #