Qual è il dominio e l'intervallo di y = 4 / (x ^ 2-1)?

Risposta:

Dominio: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Gamma: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Spiegazione:

Il meglio spiegato attraverso il grafico.

graph {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Possiamo vedere che per il dominio, il grafico inizia all'infinito negativo. Quindi colpisce un asintoto verticale a x = -1.

Questo è un discorso di fantasia per il grafico non è definito in x = -1, perché a quel valore che abbiamo #4/((-1)^2-1)# quale è uguale a #4/(1-1)# o #4/0#.

Dato che non puoi dividere per zero, non puoi avere un punto in x = -1, quindi lo teniamo fuori dal dominio (ricorda che il dominio di una funzione è la raccolta di tutti i valori x che producono un valore y).

Quindi, tra -1 e 1, va tutto bene, quindi dobbiamo includerlo nel dominio.

Le cose iniziano a diventare funky con x = 1 di nuovo. Ancora una volta, quando si collega 1 per x, il risultato è #4/0# quindi dobbiamo escluderlo dal dominio.

Per riassumere, il dominio della funzione va dall'infinito negativo a -1, quindi da -1 a 1 e quindi all'infinito. Il modo di esprimere la mamma che è # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

La gamma segue la stessa idea: è l'insieme di tutti i valori y della funzione. Possiamo vedere dal grafico che dall'infinito negativo a -4, tutto va bene.

Poi le cose cominciano a sud. A y = -4, x = 0; ma poi, se provi y = -3, non otterrai una x. Orologio:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Non esiste una radice quadrata di un numero negativo. Questo sta dicendo che un numero quadrato è uguale a #-1/3#, che è impossibile perché la quadratura di un numero ha sempre un risultato positivo.

Questo significa #y = "-" 3 # è indefinito e quindi non fa parte della nostra gamma. Lo stesso vale per tutti i valori y compresi tra 4 e 0.

Da 0 in alto, tutto è buono fino all'infinito. Il nostro intervallo è quindi infinito negativo a -4, quindi da 0 a infinito; in termini matematici, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

In generale, per trovare dominio e raggio, devi cercare luoghi in cui le cose sono sospette. Questo di solito comporta cose come la divisione per zero, prendendo la radice quadrata di un numero negativo, ecc.

Ogni volta che trovi un punto come questo, rimuovilo dal dominio / intervallo e crea la notazione degli intervalli.