Qual è il limite quando x si avvicina all'infinito di (ln (x)) ^ (1 / x)?

È abbastanza semplice Devi usare il fatto che

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Allora, lo sai

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

E poi, accade la parte interessante che potrebbe essere risolta in due modi: usando l'intuizione e usando la matematica.

Cominciamo con la parte dell'intuizione.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("qualcosa più piccolo di x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Pensiamo perché è così?

Grazie alla continuità di # E ^ x # funzione possiamo spostare limite:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Per valutare questo limite #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, possiamo usare la regola de l'Hospital che afferma:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Pertanto, quando contiamo i derivati, otteniamo:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Come i derivati sono # 1 / (XLN (x)) # per nominator e #1# per denominatore.

Quel limite è facile da calcolare così com'è # 1 / infty # tipo di limite che è zero.

Pertanto, lo vedi

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

E questo significa #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # anche.