Risposta:
# Dy / dx = -20 / 21 #
Spiegazione:
Avrai bisogno di conoscere le basi della differenziazione implicita per questo problema.
Sappiamo che la pendenza della linea tangente in un punto è la derivata; quindi il primo passo sarà prendere la derivata. Facciamolo pezzo per pezzo, iniziando con:
# D / dx (3Y ^ 2) #
Questo non è troppo difficile; devi solo applicare la regola della catena e la regola di potere:
# D / dx (3Y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Adesso, avanti # # 4xy. Avremo bisogno delle regole di alimentazione, catena e prodotto per questo:
# D / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Regola del prodotto: # D / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + XDY / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Bene, finalmente # X ^ 2y # (più regole di prodotto, alimentazione e catena):
# D / dx (x ^ 2y) #
# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2DY / dx #
Ora che abbiamo trovato tutti i nostri derivati, possiamo esprimere il problema come:
# D / dx (3Y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
(Ricorda la derivata di una costante è #0#).
Ora raccogliamo termini con # Dy / dx # da un lato e sposta tutto il resto dall'altro:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6Y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
Tutto ciò che resta da fare è collegare #(2,5)# per trovare la nostra risposta:
# Dy / dx = - (4y + 2xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
# Dy / dx = - (4 (5) 2 (2) (5)) / (6 (5) 4 (2) + (2) ^ 2) #
# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
