Qual è l'intervallo della funzione f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Risposta:

La gamma è #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Spiegazione:

Nota che il denominatore non è definito ogni volta

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, cioè, ogni volta

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

o

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, dove #n in ZZ # (# N # è un intero).

Come #X# approcci #x_ (1, n) # da sotto, #f (x) # approcci # - infty #, mentre se #X# approcci #x_ (1, n) # dall'alto poi #f (x) # approcci # + Infty #. Ciò è dovuto alla divisione di "quasi #-0# o #+0#'.

Per #x_ (2, n) # la situazione è invertita. Come #X# approcci #x_ (2, n) # da sotto, #f (x) # approcci # + Infty #, mentre se #X# approcci #x_ (2, n) # dall'alto poi #f (x) # approcci # # -Infty.

Otteniamo una sequenza di intervalli in cui #f (x) # è continuo, come si può vedere nella trama. Considera prima le "bocce" (alle cui estremità esplode la funzione # + Infty #). Se riusciamo a trovare i minimi locali in questi intervalli, allora lo sappiamo #f (x) # assume tutti i valori tra questo valore e # + Infty #. Possiamo fare lo stesso per "ciotole rovesciate" o "tappi".

Notiamo che il più piccolo valore positivo si ottiene ogni volta che il denominatore in #f (x) # è il più grande possibile, cioè quando #sin (x) = 1 #. Quindi concludiamo che il più piccolo valore positivo di #f (x) # è #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Allo stesso modo si trova che il più grande valore negativo sia #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

A causa della continuità di #f (x) # negli intervalli tra le discontinuità e il teorema del valore intermedio, possiamo concludere che l'intervallo di #f (x) # è

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Le parentesi graffe indicano che il numero è incluso nell'intervallo (ad es. #-1/2#), mentre le parentesi tonde indicano che il numero non è incluso.

graph {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}