Qual è la forma più semplice e radicale di sqrt115?

Risposta:

Non esiste una forma più semplice

Spiegazione:

Con i radicali provate a ridimensionare l'argomento, e vediamo se ci sono dei quadrati che possono essere 'estratti da sotto la radice'.

Esempio: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) = xxsqrt5 5sqrt5 #

In questo caso, nessuna fortuna:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Risposta:

#sqrt (115) # è già nella forma più semplice

Spiegazione:

La fattorizzazione principale di #115# è:

#115 = 5*23#

Poiché non ci sono fattori quadrati, non è possibile semplificare la radice quadrata. È possibile esprimerlo come un prodotto, ma ciò non conta come più semplice:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#colore bianco)()#

indennità

In comune con qualsiasi radice quadrata irrazionale di un numero razionale, #sqrt (115) # ha una espansione della frazione continua che si ripete:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

È possibile troncare anticipatamente l'espansione della frazione continua per fornire approssimazioni razionali #sqrt (115) #.

Per esempio:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Infatti, troncando poco prima della fine della sezione ripetitiva della frazione continua, abbiamo trovato la più semplice approssimazione razionale per #sqrt (115) # che soddisfa l'equazione di Pell.

Questo è:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

solo differiscono da #1#.

Questo fa # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # un'efficiente approssimazione per #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #