Quali sono gli estremi locali, se esistono, di f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Risposta:

Le parabole hanno esattamente un estremo, il vertice.

È #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Da # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # ovunque la funzione è concava ovunque e questo punto deve essere minimo.

Spiegazione:

Hai due radici per trovare il vertice della parabola: uno, usa il calcolo per trovare se la derivata è zero; due, evitare il calcolo a tutti i costi e basta completare il quadrato. Utilizzeremo il calcolo per la pratica.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, dobbiamo prendere la derivata di questo.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Dalla linearità della derivata che abbiamo

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Usando la regola di potere, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # noi abbiamo

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Impostiamo questo valore pari a zero per trovare i punti critici, i minimi e massimi locali e globali e talvolta i punti di inflessione hanno derivate zero.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

quindi abbiamo un punto critico a # X = -9/2 # o #-4 1/2#.

Per trovare la coordinata y del punto critico che subiamo # X = -9/2 # di nuovo nella funzione, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Il punto critico / vertice è #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Lo sappiamo perché #a> 0 #questo è un massimo

Per trovare formalmente se si tratta di massimi o minimi, è necessario eseguire il secondo test derivativo.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

La derivata seconda è 2 per tutti i valori di x. Ciò significa che è maggiore di zero ovunque, e la funzione è concava ovunque (è una parabola con #a> 0 # dopotutto), quindi l'estremo deve essere un minimo, il vertice.