Dimostra che: (è vero per ogni positivo x, y) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Tenere conto #f (x) = x ln x #

Questa funzione ha un ipografo convesso perché

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

quindi in questo caso

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # o

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) le 1/2 (x ln x + y ln y) # o

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

e infine squadrando entrambi i lati

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #

La scuola locale rilancia vendendo i biglietti per giocare, durante due giorni. Nelle equazioni 5x + 2y = 48 e 3x + 2y = 32 x rappresenta il costo per ogni biglietto adulto e y rappresenta il costo per ogni biglietto studente, qual è il costo per ogni biglietto adulto?

Ogni biglietto per adulti costa $ 8. 5x + 2y = 48 indica che cinque biglietti per adulti e due biglietti per studenti costano $ 48. Allo stesso modo 3x + 2y = 32 indica che tre biglietti per adulti e due biglietti per studenti costano $ 32. Poiché il numero di studenti è lo stesso, è ovvio che un costo aggiuntivo di 48-32 = $ 16 è dovuto a due biglietti adulti aggiuntivi. Quindi, ogni biglietto per adulti deve costare $ 16/2 = $ 8.

Le radici {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 di x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 sono tali che ogni x_i = 1. Come si dimostra che, se b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Altrimenti, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

Invece, la risposta è {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} e le equazioni corrispondenti sono (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 e x ^ 6 + -1 = 0 .. La buona risposta di Cesereo R mi ha permesso di modificare la mia versione precedente, per dare la risposta giusta. La forma x = r e ^ (i theta) potrebbe rappresentare sia radici reali che complesse. Nel caso delle radici reali x, r = | x |., Concordato! Procediamo. In questa forma, con r = 1, l'equazione si divide in due equazioni, cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 ... (1) e sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 ... (2) A sii a tuo agio, scegli prima (3) e usa sin 6theta = 2 sin 3theta co

"Lena ha 2 numeri interi consecutivi.Si accorge che la loro somma è uguale alla differenza tra i loro quadrati. Lena prende altri 2 numeri interi consecutivi e nota la stessa cosa. Dimostrare algebricamente che questo è vero per ogni 2 numeri interi consecutivi?

Si prega di fare riferimento alla Spiegazione. Ricorda che gli interi consecutivi differiscono di 1. Quindi, se m è un numero intero, allora, il numero intero successivo deve essere n + 1. La somma di questi due numeri interi è n + (n + 1) = 2n + 1. La differenza tra i loro quadrati è (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, come desiderato! Senti la gioia della matematica.!