Le radici {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 di x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 sono tali che ogni x_i = 1. Come si dimostra che, se b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Altrimenti, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Le radici {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 di x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 sono tali che ogni x_i = 1. Come si dimostra che, se b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Altrimenti, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Risposta:

Invece, la risposta è # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # e le equazioni corrispondenti sono # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 e x ^ 6 + -1 = 0. #.

Spiegazione:

La buona risposta di Cesereo R mi ha permesso di modificare

la mia versione precedente, per rendere la mia risposta va bene.

Il modulo # x = r e ^ (i theta) # potrebbe rappresentare sia reale che complesso

radici. Nel caso delle radici reali x, r = | x |., Concordato! Procediamo.

In questa forma, con r = 1, l'equazione si divide in due equazioni, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Per essere a proprio agio, scegli prima (3) e usa #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Dà

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, con soluzioni

#sin 3theta = 0 per theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 to theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, con k come prima. … (4)

Qui, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 a a in -2, 2 # … (5)

(3) riduce (1) a

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

utilizzando #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) riduce (1) a

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = da 0 a b = 1 #… (7)

Ora, da (6), # a = + -2 #

Quindi, (a, b) i valori sono (+ -2, 1)..

Le equazioni corrispondenti sono # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 e (x ^ 6 + 1) = 0 #

Tuttavia, questo non è del tutto coerente con la serie di valori di Cesareo per (a,). Penso che dovrò riesaminare la mia risposta. Considerando (4) e (6) insieme, dopo aver impostato a = 0, b = - 1. Facile da verificare # (a, b) = (0, -1) #è una soluzione e l'equazione corrispondente è # X ^ 6-1 = 0 #con due vere radici #+-1#. Qui, # 6 theta = (4k-1) pi e cos 6theta = -1 #e così, (6) diventa b = 1, anche a = 0. Hai ragione al 100%, Cesareo. Grazie.

La risposta completa è inserita nella casella di risposta.

Nota: questa è un'altra proposizione, tuttavia, vorrei ricordare e fare una dichiarazione su come avevo impostato le disuguaglianze nella presente domanda, il prima possibile.

Sfortunatamente, il mio scarabocchiare su questa faccenda era andato nel cestino della polvere. Se questa risposta è giusta ma non quella, io #rimpiangere# per lo stesso. Devo cambiare la domanda per questa risposta. Penso veloce ma non digito, in sintonia con il pensiero. I bug si incorporano facilmente nei miei pensieri.

Mi aspetto che i neuroscienziati sostengano la mia spiegazione, per l'introduzione di bug nel nostro duro lavoro..

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Supponendo che # {a, b} in RR # abbiamo quello #b = pm1 #

perché #b = Pix_i #. Ora facendo #y = x ^ 3 # noi abbiamo

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # e risolvendo per # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # ma

# Absy = abs (- (un pmsqrt / 2) ((A / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Risolvere per #un# noi abbiamo # A = {0, -2,2} #

L'equazione # X ^ 6 + ax + b ^ 3 = 0 # è equivalente a una delle possibilità

# X ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

con

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #