Ci sono 7 bambini in una classe. In quanti modi possono schierarsi per la ricreazione?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Questo particolare problema è a permutazione. Ricorda, la differenza tra permutazioni e combinazioni è che, con le permutazioni, l'ordine conta. Dato che la domanda chiede quanti modi gli studenti possono allineare per la ricreazione (cioè quanti ordini diversi), questa è una permutazione.

Immagina per il momento di riempire solo due posizioni, posizione 1 e posizione 2. Per differenziare i nostri studenti, poiché l'ordine conta, assegneremo a ciascuno una lettera da A a G. Ora, se stiamo riempiendo queste posizioni, uno alla volta, abbiamo sette opzioni per riempire la prima posizione: A, B, C, D, E, F e G. Tuttavia, una volta che la posizione è piena, abbiamo solo sei opzioni per il secondo, perché una delle gli studenti sono già stati posizionati

Ad esempio, supponiamo che A sia nella posizione 1. Quindi i nostri possibili ordini per le nostre due posizioni sono AB (cioè A in posizione 1 e B in posizione 2), AC, AD, AE, AF, AG. Tuttavia … questo non tiene conto di tutti gli ordini possibili qui, poiché ci sono 7 opzioni per la prima posizione. Quindi, se B fosse nella posizione 1, avremmo come possibilità BA, BC, BD, BE, BF e BG. Quindi moltiplichiamo il nostro numero di opzioni insieme: #7*6 = 42#

Guardando al problema iniziale, ci sono 7 studenti che possono essere collocati nella posizione 1 (di nuovo, assumendo che riempimo le posizioni dall'1 al 7 in ordine). Una volta riempita la posizione 1, 6 studenti possono essere posizionati nella posizione 2. Con le posizioni 1 e 2 occupate, 5 può essere collocato in posizione 3, eccetera, fino a quando solo uno studente può essere collocato nell'ultima posizione. Quindi, moltiplicando il nostro numero di opzioni insieme, otteniamo #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Per una formula più generale per trovare il numero di permutazioni di # N # oggetti presi # R # Al tempo, senza sostituzione (cioè, lo studente nella posizione 1 non ritorna nell'area di attesa e diventa un'opzione per la posizione 2), tendiamo a usare la formula:

Numero di permutazioni = # "N" / "(n-r)!" #.

con # N # il numero di oggetti, # R # il numero di posizioni da riempire, e #!# il simbolo per il fattoriale, un'operazione che agisce su un numero intero non negativo #un# così #un!# = #atimes (A-1) volte (A-2) volte (a-3) volte … volte (1) #

Quindi, usando la nostra formula con il problema originale, dove abbiamo 7 studenti presi 7 alla volta (per esempio desideriamo riempire 7 posizioni), abbiamo

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Potrebbe sembrare contro-intuitivo #0! = 1#; tuttavia, questo è davvero il caso.