Come valuti cos ^ 2 x + 7 cos x + 8?

Risposta:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Prima di tutto # T = cosx #.

# Y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Ora, completiamo il quadrato per calcolare questo.

# Y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Nota che # (T + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / + 2t (7/2) ^ 2 #

# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #

Quindi vogliamo aggiungere #49/4# nell'espressione e sottrarla di nuovo.

# Y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Nota che #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# Y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Ora, nota quello N ° 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# Y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Ora, abbiamo una differenza di quadrati e possiamo considerarlo come uno.

#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #

# Y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Se lo desideriamo, possiamo portare un fattore comune di #1/2# da ogni parte:

# Y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

permettere # u = cos (x) #

La domanda diventa quindi:

Fattore # U ^ 2 + 7U + 8 # potresti semplicemente usare la formula quadratica qui, ad es. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #

oppure potresti farlo alla lunga (che non è migliore della formula, infatti è uno dei metodi usati per formulare la formula quadratica):

trova due radici, # r_1 # e # r_2 # così # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Espandere: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #

# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

Così: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

e quindi: # - (r_1 + r_2) = 7 # e # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #

# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #

# r_1-r_2 = sqrt (17) #

# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #

# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #

Quindi, la forma fattorizzata è # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

sub # u = cos (x) # ottenere:

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #