Come trovi i punti critici per f (x) = - (sinx) / (2 + cosx) e il locale max e min?

Risposta:

I punti critici sono a:

# ((2pi) / 3, sqrt (3) / 3) #è un punto minimo

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # è il punto massimo.

Spiegazione:

Per trovare i punti critici che dobbiamo trovare #f '(x) #

quindi risolvere per #f '(x) = 0 #

#f '(x) = - ((sinx)' (2 + cosx) - (2 + cosx) 'sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (cosx (2 + cosx) - (- sinx) sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (2cosx + cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x)) / (2 + cosx) ^ 2 #

Da # cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 # noi abbiamo:

#f '(x) = - (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 #

Facciamo dolce per #f '(x) = 0 #per trovare i punti critici:

#f '(x) = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) = 0 #

#rArr (2cosx + 1) = 0 #

# RArr2cosx = -1 #

# RArrcosx = -1/2 #

#cos (PI-(pi / 3)) = - 1/2 #

o

#cos (pi + (pi / 3)) = - 1/2 #

Perciò, # X = pi- (pi / 3) = (2pi) / 3 #

o # X = pi + (pi / 3) = (4Pi) / 3 #

Calcoliamo #f ((2pi) / 3) = - sin ((2pi) / 3) / (2 + cos ((2pi) / 3) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (2-1 / 2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (3/2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 3) #

Da#f (x) # sta diminuendo # (0, (2pi) / 3) #

Poi# (((2pi) / 3), - sqrt (3) / 3) # è il punto minimo

Da allora la funzione aumenta fino a # X = (4 (pi) / 3) # allora il punto

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # è il punto massimo.