Risposta:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # per intero #K.#
Spiegazione:
Ho lavorato in questo modo in due modi diversi, ma penso che questa terza via sia la migliore. Esistono diverse formule a doppio angolo per il coseno. Non lasciamoci tentare da nessuno di loro. Evitiamo anche le equazioni di squadratura.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
La combinazione lineare di coseno e seno è un coseno sfasato.
Permettere # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # e
# theta = testo {Arco} testo {tan} (2/1) #
Ho indicato la principale inversa tangente, qui nel primo quadrante, intorno # Theta = 63.4 ^ circ #. Siamo sicuri
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Quindi possiamo riscrivere la nostra equazione
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Ricorda sempre la soluzione generale a #cos x = cos a # è # x = pm a + 360 ^ circ k quad # per intero #K#.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Prendendo i segni uno alla volta, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # è una costante possiamo provare a ottenere un'espressione migliore per:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Sappiamo # # Phi è nel secondo quadrante, non nel solito intervallo del valore principale.
#phi = testo {Arco} testo {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Ciò risulta non avere importanza perché stiamo aggiungendo # 180 ^ circ k # a # # Phi nella soluzione generale comunque. Mettere tutto insieme, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Non dobbiamo essere meticolosi riguardo al valore principale dell'arctan; dato che stiamo aggiungendo # 180 ^ circ k # qualsiasi valore farà. Potremmo scrivere il primo # X = arctan (-3) # con il # 180 ^ circ k # implicito, ma lasciamolo qui.
