Perché hai bisogno di trovare la forma trigonometrica di un numero complesso?

A seconda di cosa devi fare con i tuoi numeri complessi, la forma trigonometrica può essere molto utile o molto spinosa.

Ad esempio, let # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # e # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Calcoliamo le due forme trigonometriche:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # e # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # e # Rho_2 = sqrt {3} + 1 = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # e # Rho_3 = sqrt {1} + 3 = 2 #

Quindi le forme trigonometriche sono:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

aggiunta

Diciamo che vuoi calcolare # Z_1 + Z_2 + z_3 #. Se usi il modulo algebrico, ottieni

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Abbastanza semplice. Ora prova con la forma trigonometrica …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

si scopre che il modo più breve per aggiungere queste due espressioni è quello di risolvere coseni e seni, il che significa … rivolgendosi alla forma algebrica!

La forma algebrica è spesso la forma migliore da scegliere per aggiungere numeri complessi.

Moltiplicazione

Ora proviamo a calcolare # Z_1 * * Z_2 z_3 #. L'uso di forme algebriche richiede molti calcoli fastidiosi. Ma risolvere questo prodotto con le forme trigonometriche è più semplice:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Gli ingredienti per dimostrare che la seconda uguaglianza vale provengono dalla trigonometria: i due formule di aggiunta

#sin (alpha + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

La moltiplicazione di numeri complessi è ancora più pulita (ma concettualmente non più semplice) in forma esponenziale.

In un certo senso, la forma trigonometrica è una sorta di forma intermedia tra le forme algebriche e esponenziali. La forma trigonometrica è il modo per passare da uno di questi due. In questo senso è una sorta di "dizionario" per "tradurre" i moduli.