Risposta:
Converge assolutamente.
Spiegazione:
Usa il test per la convergenza assoluta. Se prendiamo il valore assoluto dei termini otteniamo la serie
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Questa è una serie geometrica di rapporto comune #1/4#. Quindi converge. Da entrambi # | A_n | # converge #un# converge assolutamente.
Speriamo che questo aiuti!
Risposta:
# "È una semplice serie geometrica e converge assolutamente con" # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
Spiegazione:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", a condizione che | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", quindi abbiamo" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Ora la nostra serie è quattro volte tanto quanto il primo termine è 4." #
# "Quindi la nostra serie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Risposta:
La serie geometrica converge assolutamente, con
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Spiegazione:
Questa serie è sicuramente una serie alternata; tuttavia, sembra anche geometrico.
Se siamo in grado di determinare il rapporto comune condiviso da tutti i termini, la serie sarà nella forma
#sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n #
Dove #un# è il primo termine e # R # è il rapporto comune.
Dovremo trovare la somma usando il formato sopra.
Dividere ogni termine con il termine prima di esso per determinare il rapporto comune # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Quindi, questa serie è geometrica, con il rapporto comune # R = -1/4 #e il primo termine # A = 4. #
Possiamo scrivere la serie come
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Ricorda che una serie geometrica #sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n # converge a # A / (1-r) # Se # | R | <1 #. Quindi, se converge, possiamo anche trovare il suo valore esatto.
Qui, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, quindi la serie converge:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Ora, determiniamo se converge assolutamente.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Elimina il termine negativo alternato:
# A_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Prendi il valore assoluto, facendo svanire il termine negativo alternato:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Così, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vediamo # | R | = 1/4 <1 #, quindi abbiamo ancora convergenza:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
La serie converge assolutamente, con
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
