Cos'è la GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Risposta:

Il massimo comun divisore di #2^32-2^24+2^16-2^8+1# e #2^8+1# è #1#

Spiegazione:

Nota che:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

è un numero primo - in effetti uno dei pochi numeri primi Fermat conosciuti.

Quindi gli unici possibili fattori comuni di #2^8+1# e #2^32-2^24+2^16-2^8+1# siamo #1# e #257#.

Tuttavia, come hai notato nella domanda:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

è della forma:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

L'unico fattore # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # di #2^40+1# corrisponde alla vera quinta radice dell'unità e # (X + y) # non è automaticamente un fattore del rimanente quartico # X ^ 4 x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # i cui altri fattori lineari sono tutti non complessi.

Possiamo dividere manualmente # X ^ 4 x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # di # X + y # per ottenere un resto polinomiale e quindi sostituire # X = 2 ^ 8 # e # Y = 1 # per verificare che questo non sia un caso speciale …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Quindi il resto è:

# 5y ^ 4 = 5 (color (blue) (1)) ^ 4 = 5 #

Poiché il resto è diverso da zero, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# e #2^8+1# non hanno un fattore comune più grande di #1#.