Risposta:
L'integrale definito è # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Spiegazione:
Ci sono sempre diversi modi per affrontare i problemi di integrazione, ma questo è il modo in cui ho risolto questo:
Sappiamo che l'equazione per il nostro cerchio è:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Questo significa che per nessuno #X# valore possiamo determinare i due # Y # valori sopra e sotto quel punto sull'asse x usando:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Se immaginiamo che una linea disegnata dalla cima del cerchio verso il basso sia costante #X# valore in qualsiasi punto, avrà una lunghezza del doppio del # Y # valore dato dall'equazione di cui sopra.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Dato che siamo interessati all'area tra la linea #x = 3 # e la fine del cerchio a #x = 5 #, quelli saranno i nostri confini integrali. Da quel momento in poi, scrivere l'integrale definito è semplice:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Risposta:
In alternativa, in polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Spiegazione:
puoi farlo anche in polar
il cerchio in polar è r = 5 e utilizza la formulazione più semplice dell'area #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # diventa, usando la simmetria attorno all'asse x
#A = 2 volte (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - colore {rosso} {1/2 * 3 * 4}) #
dove il bit rosso è come mostrato ombreggiato in rosso sul disegno
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
