Se possibile, trova una funzione f tale che grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Risposta:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Spiegazione:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Ora prendi" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Allora abbiamo la stessa f, che soddisfa le condizioni." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Risposta:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Spiegazione:

Abbiamo poca notazione nella domanda in quanto il del operatore (o operatore di gradiente) è un operatore differenziale vettoriale, Cerchiamo una funzione #f (x, y) # tale che:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Dove #BB (grad) # è l'operatore gradiente:

# "grad" f = bb (grad) f = (parziale f) / (parziale x) bb (ul cappello i) + (parziale f) / (parziale x) bb (ul cappello j) = << f_x, f_y> > #

Da cui chiediamo che:

# f_x = (parziale f) / (parziale x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (parziale f) / (parziale y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Se integriamo A wrt #X#, mentre si tratta # Y # come costante, otteniamo:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Se integriamo B wrt # Y #, mentre si tratta #X# come costante, otteniamo:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Dove #U (y) # è una funzione arbitraria di # Y # da solo, e #v (x) # è una funzione arbitraria di #X# solo.

Ovviamente richiediamo che queste funzioni siano identiche, quindi abbiamo:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

E così abbiamo scelto #v (x) = x ^ 4 # e #u (y) = y ^ 6 #, che ci dà la nostra soluzione:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Possiamo confermare facilmente la soluzione calcolando i derivati parziali:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED