Quali sono esempi di funzioni che non possono essere integrate?

Dipende da cosa intendi. Vuoi dire che non riesci a trovare una formula per una antiderivata? O vuoi dire che l'integrale definito non esiste?

Alcune funzioni, come #sin (x ^ 2) #, hanno antiderivati che non hanno formule semplici che implicano un numero finito di funzioni a cui sei abituato dal precalcolo (hanno antiderivati, semplicemente non hanno formule semplici per loro). I loro antiderivati non sono "elementari".

Altre funzioni, come una funzione #f (x) # quello è uguale a 1 quando #X# è razionale e 0 quando #X# è irrazionale non è "Riemann integrabile" su qualsiasi intervallo chiuso # A, b #. Il problema sta nel fatto che, per una data partizione dell'intervallo, puoi sempre scegliere punti campione che sono o tutti irrazionali o tutti razionali, che porteranno a somme che non convergono alla stessa risposta in cui i subintervals ottengono tutti più piccoli.

Quest'ultima funzione è, tuttavia, "Lebesgue integrable" (pronunciato "Lah-bagh" con un lungo suono "a" nella seconda sillaba). Non entrerò nei dettagli, ma in poche parole, ci sono molte "teorie di integrazione" rispetto alle quali una determinata funzione potrebbe essere integrabile o meno.