Qual è il significato della derivata parziale? Fai un esempio e aiutami a capire in breve.

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Spero possa essere d'aiuto.

La derivata parziale è intrinsecamente associata alla variazione totale.

Supponiamo di avere una funzione #f (x, y) # e vogliamo sapere quanto varia quando introduciamo un incremento per ogni variabile.

Fissare idee, fare #f (x, y) = k x y # vogliamo sapere quanto è

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Nel nostro esempio di funzione che abbiamo

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

e poi

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

scelta #dx, dy # arbitrariamente piccolo allora #dx dy approx 0 # e poi

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ma generalmente

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

ora facendo #dx, dy # arbitrariamente piccoli che abbiamo

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

così possiamo calcolare la variazione totale per una determinata funzione, calcolando le derivate parziali #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # e compounding

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Ecco le quantità #f_ (x_i) # sono chiamati derivati parziali e possono anche essere rappresentati come

# (parziale f) / (parziale x_i) #

Nel nostro esempio

#f_x = (parziale f) / (parziale x) = k x # e

#f_y = (parziale f) / (parziale y) = k y #

NOTA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y -f dy +) (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Per integrare la risposta di Cesareo sopra, fornirò una definizione introduttiva meno rigorosa dal punto di vista matematico.

La derivata parziale, genericamente parlando, ci dice quanto cambierà una funzione multi-variabile quando si tengono costanti altre variabili. Ad esempio, supponiamo di essere stati dati

#U (A, t) = A ^ 2t #

Dove # U # è la funzione di utilità (felicità) di un particolare prodotto, #UN# è la quantità di prodotto, e # T # è il momento in cui viene usato il prodotto.

Supponiamo che la società che produce il prodotto vorrebbe sapere quanta più utilità possono trarre da essa se aumentano la durata di vita del prodotto di 1 unità. Il derivato parziale dirà all'azienda questo valore.

La derivata parziale è generalmente indicata dal delta della lettera greca minuscolo (#parziale#), ma ci sono altre annotazioni. Useremo #parziale# per adesso.

Se stiamo cercando di scoprire quanto l'utilità del prodotto cambia con un aumento di 1 unità nel tempo, stiamo calcolando la derivata parziale dell'utilità rispetto al tempo:

# (PartialU) / (partialt) #

Per calcolare il PD, teniamo le altre variabili costanti. In questo caso, trattiamo # Un ^ 2 #, l'altra variabile, come se fosse un numero. Ricordiamo dal calcolo introduttivo che la derivata di una costante volte una variabile è solo la costante. È la stessa idea qui: la derivata (parziale) di # Un ^ 2 #, una costante, volte # T #, la variabile, è solo la costante:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Pertanto, produce un aumento di 1 unità nel tempo di utilizzo del prodotto # Un ^ 2 # più utilità. In altre parole, il prodotto diventa più soddisfacente se può essere usato più spesso.

C'è molto, molto altro da dire sulle derivate parziali - in realtà, interi corsi universitari e post-laurea possono essere dedicati alla risoluzione di pochi tipi di equazioni che coinvolgono derivati parziali - ma l'idea di base è che la derivata parziale ci dice quanto cambiamenti variabili quando gli altri rimangono gli stessi.