Qual è la forma standard dell'equazione della parabola con una direttrice in x = 103 e una messa a fuoco in (108,41)?

Risposta:

# X = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Spiegazione:

Una parabola è il luogo di un punto, che si muove in modo tale che la sua distanza da una determinata linea chiamata directrix e un dato punto chiamato fuoco, sia sempre uguale.

Ora, la distanza tra due pinte # (X_1, y_1) # e # (X_2, y_2) # è dato da #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # e la distanza di un punto # (X_1, y_1) # da una linea # Ax + by + c = 0 # è # | (Ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Venendo alla parabola con directrix # X = 103 # o # x-103 = 0 # e concentrati #(108,41)#, lascia il punto equidistante da entrambi # (X, y) #. La distanza di # (X, y) # a partire dal # x-103 = 0 # è

# | (X-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

e la sua distanza da #(108,41)# è

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

e poiché i due sono uguali, l'equazione della parabola sarebbe

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

o # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

o # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

o # Y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

o # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

o # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

o in forma di vertice # X = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

e il vertice è #(105 1/2,41)#

Il suo grafico appare come mostrato di seguito, insieme a focus e directrix.

grafico {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0.6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}