Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) in [2,9]?

Risposta:

Il minimo assoluto è # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# che si verifica quando # X = 9 #.

Il massimo assoluto è # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # che si verifica quando # X = 2 #.

Spiegazione:

Gli estremi assoluti di una funzione sono i valori y più grandi e più piccoli della funzione su un determinato dominio. Questo dominio ci può essere dato (come in questo problema) o potrebbe essere il dominio della funzione stessa. Anche quando ci viene assegnato il dominio, dobbiamo considerare il dominio della funzione stessa, nel caso in cui escluda qualsiasi valore del dominio che ci viene assegnato.

#f (x) # contiene l'esponente #1/3#, che non è un numero intero. Fortunatamente, il dominio di #p (x) = ROOT3 (x) # è # (- oo, oo) # quindi questo fatto non è un problema.

Tuttavia, dobbiamo ancora considerare il fatto che il denominatore non può essere uguale a zero. Il denominatore sarà uguale a zero quando #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Nessuno di questi valori si trova nel dominio dato di #2,9#.

Quindi, ci rivolgiamo a trovare l'estremo assoluto su #2,9#. Gli estremi assoluti si verificano ai punti finali del dominio o agli estremi locali, ovvero i punti in cui la funzione cambia direzione. Gli estremi locali si verificano in punti critici, che sono punti nel dominio in cui la derivata è uguale #0# o non esiste. Quindi, dobbiamo trovare la derivata. Utilizzando la regola del quoziente:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Se fattore # -3x ^ (- 2/3) # fuori dal numeratore, abbiamo:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Non ci sono valori di #X# sopra #2,9# dove #f '(x) # non esiste. Non ci sono anche valori su #2,9# dove #f '(x) = 0 #. Quindi non ci sono punti critici sul dominio dato.

Utilizzando il "test dei candidati", troviamo i valori di #f (x) # agli endpoint. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Un rapido controllo sui nostri calcolatori mostra che:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (massimo assoluto)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (minimo assoluto)

Quali sono gli estremi assoluti?

Se una funzione ha un massimo assoluto in x = b, allora f (b) è il valore più grande che f può raggiungere. Una funzione f ha un massimo assoluto in x = b se f (b) f (x) per tutti x nel dominio di f.

Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 in [0,3]?

Su [0,3], il massimo è 19 (in x = 3) e il minimo è -1 (in x = 1). Per trovare gli estremi assoluti di una funzione (continua) su un intervallo chiuso, sappiamo che gli estremi devono verificarsi in entrambi i numeri critici nell'intervallo o ai punti finali dell'intervallo. f (x) = x ^ 3-3x + 1 ha derivata f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 non è mai indefinito e 3x ^ 2-3 = 0 in x = + - 1. Dato che -1 non è nell'intervallo [0,3], lo scartiamo. L'unico numero critico da considerare è 1. f (0) = 1 f (1) = -1 e f (3) = 19. Quindi, il massimo è 19 (a x = 3) e il minimo è -1 (a x

Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) in [1,4]?

Non ci sono massimi globali. Il minimo globale è -3 e si verifica in x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, dove x 1 f '(x) = 2x - 6 L'estremo assoluto si verifica su un punto finale o sul numero critico. Endpoint: 1 & 4: x = 1 f (1): "indefinito" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Punto (i) critico: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 In x = 3 f (3) = -3 Non ci sono massimi globali. Non ci sono minimi globali è -3 e si verifica in x = 3.