Su 7 biglietti della lotteria 3 sono biglietti vincenti. Se qualcuno compra 4 biglietti, qual è la probabilità di vincere almeno due premi?

Risposta:

# P = 22/35 #

Spiegazione:

Quindi, abbiamo #3# vincente e #4# biglietti non vincenti tra #7# biglietti disponibili

Separiamo il problema in quattro casi indipendenti che si escludono a vicenda:

(a) ci sono #0# biglietti vincenti tra quelli #4# comprato

(quindi, tutto #4# i biglietti acquistati sono da un pool di #4# biglietti non vincenti)

(b) c'è #1# biglietto vincente tra quelli #4# comprato

(così, #3# i biglietti acquistati sono da un pool di #4# biglietti non vincenti e #1# il biglietto è da un pool di #3# biglietti vincenti)

(c) ci sono #2# biglietti vincenti tra quelli #4# comprato

(così, #2# i biglietti acquistati sono da un pool di #4# biglietti non vincenti e #2# i biglietti sono da un pool di #3# biglietti vincenti)

(d) ci sono #3# biglietti vincenti tra quelli #4# comprato

(così, #1# il biglietto acquistato proviene da un pool di #4# biglietti non vincenti e #3# i biglietti sono da un pool di #3# biglietti vincenti)

Ognuno degli eventi di cui sopra ha la sua probabilità di verificarsi.Siamo interessati agli eventi (c) e (d), la somma delle probabilità del loro verificarsi è l'argomento del problema. Questi due eventi indipendenti costituiscono l'evento "vincendo almeno due premi". Dal momento che sono indipendenti, la probabilità di un evento combinato è una somma delle sue due componenti.

La probabilità di evento (c) può essere calcolata come un rapporto del numero di combinazioni di #2# i biglietti acquistati sono da un pool di #4# biglietti non vincenti e #2# i biglietti sono da un pool di #3# biglietti vincenti (# # N_c) al numero totale di combinazioni di #4# fuori da #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

Il numeratore # # N_c è uguale al numero di combinazioni di #2# vincere i biglietti di #3# a disposizione # C_3 ^ 2 = (3!) / (2 * 1!) = 3 # moltiplicato per il numero di combinazioni di #2# biglietti non vincenti di #4# a disposizione # C_4 ^ 2 = (4!) / (2 * 2!) = 6 #.

Quindi, il numeratore è

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

Il denominatore è

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4 * 3!) = 35 #

Quindi, la probabilità dell'evento (c) è

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Allo stesso modo, per il caso (d) abbiamo

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Il totale delle probabilità di eventi (c) e (d) è

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #