Iniziamo con la funzione senza # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Questa funzione ha sicuramente # X = 0 # come root, dato che abbiamo preso in considerazione #X#.
Le altre radici sono soluzioni di # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, ma questa parabola non ha radici. Ciò significa che il polinomio originale ha solo una radice.
Ora, un polinomio #p (x) # di strano grado ha sempre almeno una soluzione, perché tu hai
#lim_ {x to infty} p (x) = - infty # e #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
e #p (x) # è continuo, quindi deve attraversare il #X# asse ad un certo punto.
La risposta viene dai seguenti due risultati:
- Un polinomio di grado # N # ha esattamente # N # radici complesse, ma al massimo # N # vere radici
- Dato il grafico di #f (x) #, il grafico di #f (x) + k # ha la stessa forma, ma è traslato verticalmente (verso l'alto se #k> 0 #, verso il basso altrimenti).
Quindi, partiamo da # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, che ha solo una radice reale (e quindi due radici complesse) e la trasformiamo in # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, il che significa che lo traduciamo in alto o in basso, quindi non cambiamo il numero di soluzioni.
Qualche esempio:
Funzione originale: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Traduci: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Traduci giù: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
grafico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Come puoi vedere, c'è sempre una radice
Risposta:
Vedi sotto
Spiegazione:
Una soluzione alternativa, forse più elegante:
il derivato del tuo polinomio è # 3x ^ 2-4x + 2 #, che è una parabola concava senza radici e quindi sempre positiva. Così, # F # è:
- Aumentando monotonicamente
- #lim_ {x a pm infty} f (x) = pm infty #
- # "Deg" (f) = 3 #
I primi due punti lo dimostrano # F # ha esattamente una radice e la terza che le altre due radici sono complesse.
