Dimostra che il power set è un campo?

Risposta:

Il power set di un set è un anello commutativo sotto le naturali operazioni di unione e intersezione, ma non un campo sotto quelle operazioni, poiché manca di elementi inversi.

Spiegazione:

Dato qualsiasi set #S#, considera il set di energia # 2 ^ S # di #S#.

Questo ha naturali operazioni di unione # # Uu che si comporta come addizione, con un'identità # O / # e intersezione # Nn # che si comporta come la moltiplicazione con un'identità #S#.

Più in dettaglio:

• # 2 ^ S # è chiuso sotto # # Uu

  Se # A, B in 2 ^ S # poi #A uu B in 2 ^ S #

• C'è un'identità # O / in 2 ^ S # per # # Uu

  Se #A in 2 ^ S # poi #A uu O / = O / uu A = A #

• # # Uu è associativo

  Se #A, B, C in 2 ^ S # poi #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # # Uu è commutativo

  Se # A, B in 2 ^ S # poi #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # è chiuso sotto # Nn #

  Se # A, B in 2 ^ S # poi #A nn B in 2 ^ S #

• C'è un'identità #S in 2 ^ S # per # Nn #

  Se #A in 2 ^ S # poi #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # è associativo

  Se #A, B, C in 2 ^ S # poi #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # è commutativo

  Se # A, B in 2 ^ S # poi #A nn B = B nn A #

• # Nn # è sinistra e destra distributiva finita # # Uu

  Se # A, B in 2 ^ S # poi #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  e # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Così # 2 ^ S # soddisfa tutti gli assiomi richiesti per essere un anello commutativo con aggiunta # # Uu e moltiplicazione # Nn #.

Se #S = O / # poi # 2 ^ S # ha un elemento, vale a dire # O / #, quindi non riesce ad avere distinte identità additive e moltiplicative e quindi non è un campo.

Altrimenti, nota questo #S# non ha inverso sotto # # Uu e # O / # non ha inverso sotto # Nn #. Così # 2 ^ S # non forma un campo a causa della mancanza di elementi inversi.