Risposta:
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Spiegazione:
Per # X = 0 # noi abbiamo
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Consideriamo una nuova funzione #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X##nel## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X##nel## RR #
Di conseguenza # G # sta aumentando # RR #. Quindi perché è strettamente in aumento # G # è "#1-1#" (uno a uno)
Così, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Dobbiamo dimostrarlo # X / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # F # è continuo a # 0, x #
- # F # è differenziabile in # (0, x) #
Secondo il teorema del valore medio c'è # # X_0#nel## (0, x) #
per cui #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #X##nel## RR # così
differenziando entrambe le parti otteniamo
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
La funzione # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # è differenziabile. Di conseguenza # F '# è differenziabile e # F # è 2 volte differenziabile con
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X##nel## RR #
-> # F '# è strettamente crescente in # RR # che significa
# # X_0#nel## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <##X# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
