La somma del quadrato di tre numeri interi è 324. Come trovi gli interi?

Risposta:

L'unica soluzione con numeri interi positivi distinti è #(2, 8, 16)#

Il set completo di soluzioni è:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Spiegazione:

Possiamo risparmiarci un po 'di sforzo considerando le forme dei quadrati.

Se # N # è un numero dispari allora #n = 2k + 1 # per alcuni interi #K# e:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Si noti che questo è un numero intero dispari del modulo # 4p + 1 #.

Quindi se aggiungi i quadrati di due interi dispari, otterrai sempre un numero intero del modulo # 4k + 2 # per alcuni interi #K#.

Nota che #324 = 4*81# è della forma # # 4kno # 4k + 2 #.

Quindi possiamo dedurre che i tre numeri interi devono essere tutti pari.

Da allora esiste un numero finito di soluzioni in numeri interi # n ^ 2> = 0 # per qualsiasi numero intero # N #.

Considera soluzioni in numeri interi non negativi. Possiamo aggiungere varianti che coinvolgono numeri interi negativi alla fine.

Supponiamo che il numero intero più grande sia # N #, poi:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Così:

# 12 <= n <= 18 #

Ciò si traduce in possibili somme di quadrati degli altri due numeri interi:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Per ognuno di questi valori #K#, supponiamo che il numero intero rimanente più grande sia # M #. Poi:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

e noi richiediamo # K-m ^ 2 # per essere un quadrato perfetto.

Quindi troviamo soluzioni:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Quindi l'unica soluzione con numeri interi positivi distinti è #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

È facile dimostrarlo # x, y # e # Z # deve essere anche perché fare # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # e # Z = 2m_z # noi abbiamo

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # o

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # che è assurdo.

Quindi considereremo d'ora in poi

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Ora considerando l'identità

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2L) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

con # L, m, n # interi e risultati positivi arbitrari

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

noi abbiamo

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # o risolvere per # N #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

quindi per fattibilità di cui abbiamo bisogno

# 9 ^ 2-4 (L ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # o

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

quindi per # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # avremo

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # quindi il possibile # # Q siamo

#q_f = {80,72,56,32} # perché #q equiv 0 mod 4 #

quindi dobbiamo trovare

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # o

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Qui come possiamo facilmente verificare, l'unica soluzione è per

# L_1 = 2, m_1 = 4 # perché

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

E conseguentemente # n_1 = {4,5} #

e sostituendo in 1 otteniamo

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

dare la soluzione

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #