Risposta:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Spiegazione:
Permettere #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Supponiamo di avere a che fare con valori reali e quindi con il logaritmo naturale reale.
Allora siamo costretti a #x> 0 # in modo che #ln (5x) # essere definito.
Per ogni #x> 0 # entrambi i termini sono ben definiti e così #f (x) # è una funzione ben definita con dominio # (0, oo) #.
Nota che # 3LN (5) # e # X ^ 3 # sono entrambi strettamente monotonici in aumento su questo dominio, quindi la nostra funzione è troppo ed è uno-a-uno.
Per piccoli valori positivi di #X#, il termine # X ^ 3 # è piccolo e positivo e il termine # 3LN (5x) # è arbitrariamente grande e negativo.
Per grandi valori positivi di #X#, il termine # 3LN (5x) # è positivo e il termine # X ^ 3 # è arbitrariamente grande e positivo.
Poiché la funzione è anche continua, l'intervallo è # (- oo, oo) #
Quindi per qualsiasi valore di #y in (-oo, oo) # c'è un valore unico di #x in (0, oo) # così #f (x) = y #.
Questo definisce la nostra funzione inversa:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Questo è #f ^ (- 1) (y) # è il valore di #X# così #f (x) = y #.
Abbiamo mostrato (informalmente) che questo esiste, ma non esiste una soluzione algebrica per #X# in termini di # Y #.
Il grafico di #f ^ (- 1) (y) # è il grafico di #f (x) # riflesso nella linea # Y = x #.
Nella notazione impostata:
#f = {(x, y) in (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) in RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
