Quali sono tutti i valori per k per i quali int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

e

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # ma

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # e

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # così

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

o

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

allora finalmente

valori reali #k = {-2,2} #

valori complessi #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Risposta:

# k = + - 2 #

Spiegazione:

Noi richiediamo:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrando otteniamo:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 colore (bianco) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Supponendo che #k in RR # (ci sono in realtà #6# radici, #4# di cui sono complessi)

Ora, a seconda del contesto del problema, si potrebbe obiettare #k <2 # (vale a dire # K = -2 #) non è valido come #k> = 2 # rendere il "corretto" interno escludendo così tale soluzione, ma senza alcun contesto è ragionevole includere entrambe le soluzioni.

Inoltre, nota che #k = + - 2 # potrebbe essere dimostrato di essere soluzioni senza effettivamente effettuare alcuna integrazione.

In primo luogo, una proprietà di integrali definiti è quella:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

quindi possiamo immediatamente stabilire # K = 2 # è una soluzione.

In secondo luogo, # X ^ 5 # è un dispari funzione e le funzioni dispari soddisfano:

# f (-x) = f (x) #

e hanno simmetria rotazionale sull'origine. come tale, se #f (x) # è strano allora:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

quindi possiamo immediatamente stabilire # K = -2 # è una soluzione.

L'integrazione e i calcoli successivi dimostrano tuttavia che queste sono le uniche soluzioni!