Cosa sono i prodotti incrociati?

Risposta:

Vedi spiegazione …

Spiegazione:

Quando incontri i vettori in #3# dimensioni quindi si incontrano due modi per moltiplicare due vettori:

Prodotto incrociato

Scritto #vec (u) xx vec (v) #, questo prende due vettori e produce un vettore perpendicolare ad entrambi, o il vettore zero se #vec (u) # e #vec (v) # sono paralleli.

Se #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # e #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # poi:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, colore (bianco) (.) u_3v_1-u_1v_3, colore (bianco) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Questo a volte è descritto in termini di un determinante di a # 3 xx 3 # matrice e i tre vettori unitari #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((hat (i), hat (j), hat (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Che ne dici di divisione?

Né il prodotto puntino né il prodotto incrociato consentono la divisione dei vettori. Per trovare come dividere i vettori puoi guardare i quaternioni. I quaternioni formano a #4# spazio vettoriale dimensionale sopra i numeri reali e hanno aritmetica con moltiplicazione non commutativa che può essere espressa come una combinazione di prodotto punto e prodotto incrociato. In realtà questo è il modo sbagliato, poiché l'aritmetica del quaternion precede la presentazione moderna di vettori, punti e prodotti incrociati.

In ogni caso, possiamo dire che un quaternion può essere scritto come una combinazione di una parte scalare e una parte vettoriale, con aritmetica definita da:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (V_2)) #

Per un discorso relativo molto interessante, guarda questo …

Vita prima dei vettori