X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Come risolvere x?

Risposta:

# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Spiegazione:

Poiché questo quartic non ha radici razionali (e non posso essere disturbato dalle formule), iniziamo usando il metodo di Newton per approssimare le radici:

# x ~~ -0,303 #

# x ~~ -0,618 #

# x ~~ 1.618 #

# x ~~ 3.303 #

Di questi, lo troviamo # x ~~ -0,618 # e # x ~~ 1.618 # spicca. Li riconosciamo come la sezione aurea:

# X = (1 + -sqrt5) / 2 #

Possiamo anche verificare che siano radici collegandole all'equazione, ma puoi semplicemente dire la mia parola che sono davvero radici.

Ciò significa che quanto segue è un fattore dell'equazione:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-x-1 #

Poiché, lo sappiamo # X ^ 2-x-1 # è un fattore, possiamo usare la lunga divisione polinomiale per scoprire il resto e riscrivere l'equazione in questo modo:

# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Abbiamo già capito quando il fattore di sinistra è uguale a zero, quindi ora guardiamo a destra. Possiamo risolvere il quadratico usando la formula quadratica per ottenere:

# X = (3 + -sqrt13) / 2 #