Qual è la derivata di x ^ n?

Per la funzione #f (x) = x ^ n #, n dovrebbe non uguale a 0, per ragioni che diventeranno chiare. n dovrebbe anche essere un numero intero o un numero razionale (cioè una frazione).

La regola è:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

In altre parole, "prendiamo in prestito" la potenza di x e ne facciamo il coefficiente della derivata, e quindi sottraiamo 1 dalla potenza.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Come ho detto, il caso speciale è dove n = 0. Ciò significa che

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Possiamo usare la nostra regola e tecnicamente ottieni la risposta giusta:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Tuttavia, più avanti in pista, ci imbatteremo in complicazioni quando cercheremo di utilizzare l'inverso di questa regola.

Risposta:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Di seguito sono riportate le bozze per ogni numero, ma solo la prova di tutti gli interi utilizza lo skillset di base della definizione di derivati. La prova per tutti i razionali usa la regola della catena e per gli irrazionali si usa la differenziazione implicita.

Spiegazione:

Detto questo, li mostrerò tutti qui, quindi puoi capire il processo. Attenzione #volontà# essere abbastanza lungo

A partire dal #y = x ^ (n) #, Se #n = 0 # noi abbiamo #y = 1 # e la derivata di una costante è sempre zero.

Se # N # è qualsiasi altro intero positivo che possiamo lanciare nella formula derivata e usare il teorema binomiale per risolvere il pasticcio.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Dove # # K_i è la costante appropriata

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dividendo quello # H #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Possiamo eliminare il primo termine dalla somma

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Prendendo il limite, tutto il resto ancora nella somma va a zero. calcolatore # # K_1 vediamo che è uguale # N #, così

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Per # N # che sono numeri interi negativi è un po 'più complicato. Sapendo che # x ^ -n = 1 / x ^ b #, così #b = -n # e quindi è positivo.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Prendi il primo termine

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Prendi il limite, dove # K_1 = b #, sostituendolo a # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Per i razionali dobbiamo usare la regola della catena. vale a dire.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Quindi, sapendolo # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # e supponendo #n = 1 / b # noi abbiamo

# (x ^ n) ^ b = x #

Se # B # è pari, la risposta è tecnicamente # | X | # ma questo è abbastanza vicino per i nostri scopi

Quindi, usando la regola della catena che abbiamo

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

E, ultimo ma non meno importante, usando la differenziazione implicita possiamo dimostrare per tutti i numeri reali, inclusi gli irrazionali.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #