Risolvi per x in RR l'equazione sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Risposta:

#x in 5, 10 #

Spiegazione:

Permettere # u = x-1 #. Possiamo quindi riscrivere il lato sinistro dell'equazione come

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Notare la presenza di #sqrt (u) # nell'equazione e che stiamo cercando solo valori reali, quindi abbiamo la restrizione #u> = 0 #. Con questo, considereremo tutti i casi rimanenti:

Caso 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

così # U = 4 # è l'unica soluzione nell'intervallo #0, 4#

Caso 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Poiché questa è una tautologia, ogni valore in #4, 9# è una soluzione.

Caso 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

così #u = 9 # è l'unica soluzione nell'intervallo # 9, oo) #

Presi insieme, abbiamo #4, 9# come la soluzione impostata per i valori reali di # U #. Sostituendo in #x = u + 1 #, arriviamo alla soluzione finale #x in 5, 10 #

Guardando il grafico della parte sinistra, questo corrisponde a quello che ci aspetteremmo: