Domanda sulla gravitazione?

(a) Per oggetto di massa # m = 2000 kg # muovendosi in un'orbita circolare di raggio # R # con una velocità # # V_0 intorno alla terra di massa # M # (ad altitudine # H # di # 440 m #), il periodo orbitale # # T_0 è dato dalla terza legge di Keplero.

# T_0 ^ 2 = (4Pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

dove # G # è la costante gravitazionale universale.

In termini di altitudine delle astronavi

# T_0 = sqrt ((4Pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Inserendo vari valori otteniamo

# T_0 = sqrt ((4Pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.37xx10 ^ 6 + 4.40xx10 ^ 5) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4Pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4Pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591.0 s #

(b) La forza centripeta è bilanciata dalla forza gravitazionale. L'espressione diventa

# (Mv_0 ^ 2) / r = (MGM) / r ^ 2 #

# => V_0 = sqrt ((GM) / r) #

In alternativa, per un'orbita circolare

# V_0 = romega #

# => V_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Inserimento di vari valori nell'espressione alternativa

# V_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 m cdot s ^ -1 #

(c) Energia cinetica della nave spaziale di Picard subito dopo aver sparato

# E_k = 1/2 mV ^ 2 #

Inserendo vari valori otteniamo

# E_k = 1/2 (2000) ((100-1,30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10 J #

(d) Energia potenziale di questa astronave allo stesso tempo

#E_P = - (MGM) / (r) #

Inserendo vari valori otteniamo

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11 J #

(e) Energia totale # E_T = E_P + E_k #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6,0xx10 ^ 10 J #

(f) Semi major #un# l'asse è dato da

#E_T = - (MGM) / (2a) #

# => A = - (MGM) / (2E_T) #

Inserendo determinati valori otteniamo

# => A = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6 m #

(g) Il nuovo periodo orbitale # T # si trova dall'espressione

# T ^ 2 = (4Pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4Pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395.1 s #

(h) Picard ora è più veloce di Igor dal tempo

# DeltaT = 5591.0-5395.1 = 195.9 s #

Quando è arrivato prima al punto # P # è stato # 84.0 s # dietro a. Ora prima di

# 195.9-84.0 = 111.9 s #