Se f (x) = x tan ^ -1then f (1) è cosa?

Risposta:

# f (1) # dove #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Spiegazione:

Presumo che la domanda sia #f (1) # dove #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalmente tratterei il # # Arctan come multivalore. Ma qui con la notazione della funzione esplicita #f (x) # Dirò che vogliamo il valore principale della tangente inversa. L'angolo con la tangente 1 nel primo quadrante è # 45 ^ circ # o # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Questa è la fine. Ma mettiamo da parte la domanda e concentriamoci su cosa #arctan t # significa davvero.

Di solito penso #tan ^ -1 (t) # o equivalentemente (e penso che la notazione migliore) #arctan (t) # come un espressione multivalore. La "funzione" arcuda non è realmente una funzione, perché è l'inverso di qualcosa di periodico, che non può in realtà avere un inverso sul suo intero dominio.

Questo è davvero fonte di confusione per studenti e insegnanti. Tutto ad un tratto abbiamo cose che assomigliano a funzioni che non sono realmente funzioni. Sono un po 'scivolati sotto il radar. Sono necessarie nuove regole per gestirle, ma non vengono mai esplicitamente enunciate. La matematica inizia a diventare sfocata quando non dovrebbe.

# x = arctan t # è meglio pensato come le soluzioni a #tan x = t. # Ne esiste un numero numerabilmente infinito, uno per periodo. Tangente ha periodo di #pi# quindi le soluzioni sono #pi# a parte, che è dove il #pi k # viene da, numero intero #K#.

Di solito scrivo il valore principale della tangente inversa come Arctan, con una maiuscola A. Sfortunatamente Socratic continua a "correggerlo". Lo fonderò qui:

#t = tan x # ha soluzioni

#x = arctan t = testo {Arco} testo {tan} (t) + pi k quad # per intero #K#.