I due lati di un triangolo hanno una lunghezza di 6 me 7 m e l'angolo tra di essi aumenta ad una velocità di 0,07 rad / s. Come trovi la velocità con cui l'area del triangolo aumenta quando l'angolo tra i lati di lunghezza fissa è pi / 3?

I passaggi complessivi sono:

Disegna un triangolo coerente con le informazioni fornite, etichettando le informazioni pertinenti
Determina quali formule hanno senso nella situazione (Area dell'intero triangolo basato su due lati di lunghezza fissa e relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli per l'altezza variabile)
Riferisci eventuali variabili sconosciute (altezza) alla variabile # (Theta) # che corrisponde alla sola tariffa indicata # ((d theta) / (dt)) #
Esegui alcune sostituzioni in una formula "principale" (la formula dell'area) in modo che tu possa anticipare l'utilizzo della velocità specificata
Differenzia e usa la tariffa indicata per trovare la tariffa che stai cercando # ((DA) / (dt)) #

Annotiamo le informazioni fornite formalmente:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" #

Quindi hai due lati di lunghezza fissa e un angolo tra di loro. La terza lunghezza è un valore variabile, ma è tecnicamente una lunghezza irrilevante. Quello che vogliamo è # (DA) / (dt) #. Non c'è alcuna indicazione che questo è un triangolo rettangolo, tuttavia, iniziamo assumendo che non è al momento.

Un triangolo teoricamente coerente è:

Tieni presente che questo non è proporzionalmente rappresentativo del vero triangolo. L'area di questo può essere trovata più facilmente con:

#A = (B * h) / 2 #

dove la nostra base è, naturalmente #6#. Cosa è # H #, anche se? Se disegniamo una linea di divisione verticalmente dall'apice fino alla base, automaticamente abbiamo un triangolo rettangolo sul lato sinistro del triangolo generale, senza riguardo della lunghezza del lato #X#:

Ora noi fare avere un triangolo rettangolo. Si noti, tuttavia, che la nostra formula di area ha # H # ma no # # Thetae noi sappiamo solo # (d theta) / (dt) #. Quindi, dobbiamo rappresentare # H # in termini di un angolo. Sapendo che l'unico lato conosciuto nel triangolo a sinistra è il #7#lato allungato:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Finora abbiamo:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = colore (verde) (h) # (3)

Quindi, possiamo collegare (3) in (2), differenziare (2) e implicitamente acquisiscono # (d theta) / (dt) #e spina (1) in (2) risolvere per # (DA) / (dt) #, il nostro obbiettivo:

#A = (6 * colore (verde) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (blue) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0,07 rad / s") #

Finalmente, a #theta = pi / 3 #, noi abbiamo #cos (pi / 3) = 1/2 # e:

# = 10.5 (0.07) = colore (blu) ("0.735 u" ^ 2 "/ s") #

(nota che #6*7# significa che le unità diventano # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, e #2# non è una lunghezza laterale quindi non ha unità. Anche, # "RAD" # di solito è considerato lasciato fuori, cioè # "rad / s" => "1 / s" #)

L'altezza di un triangolo aumenta ad una velocità di 1,5 cm / min mentre l'area del triangolo aumenta ad una velocità di 5 cm / min. A che velocità cambia la base del triangolo quando l'altitudine è di 9 cm e l'area è di 81 cm quadrati?

Questo è un problema di tipo relativo ai tassi (di cambiamento). Le variabili di interesse sono a = altitudine A = area e, poiché l'area di un triangolo è A = 1 / 2ba, abbiamo bisogno di b = base. Le velocità di variazione date sono in unità al minuto, quindi la variabile indipendente (invisibile) è t = tempo in minuti. Ci viene dato: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min E ci viene chiesto di trovare (db) / dt quando a = 9 cm e A = 81 cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, differenziando rispetto a t, otteniamo: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Avremo bisogno della rego

Un triangolo ha lati A, B e C. L'angolo tra i lati A e B è (5pi) / 6 e l'angolo tra i lati B e C è pi / 12. Se il lato B ha una lunghezza di 1, qual è l'area del triangolo?

Somma di angoli dà un triangolo isoscele. La metà del lato di entrata è calcolata da cos e l'altezza dal peccato. L'area si trova come quella di un quadrato (due triangoli). Area = 1/4 La somma di tutti i triangoli in gradi è 180 ^ o in gradi o π in radianti. Quindi: a + b + c = π π / 12 + x + (5π) / 6 = π x = π-π / 12- (5π) / 6 x = (12π) / 12-π / 12- (10π) / 12 x = π / 12 Notiamo che gli angoli a = b. Ciò significa che il triangolo è isoscele, che porta a B = A = 1. L'immagine seguente mostra come calcolare l'altezza opposta di c: Per l'angolo b: sin15 ^ o = h / A h = A *

Un parallelogramma ha i lati A, B, C e D. I lati A e B hanno una lunghezza di 3 e i lati C e D hanno una lunghezza di 7. Se l'angolo tra i lati A e C è (7 pi) / 12, qual è l'area del parallelogramma?

20.28 unità quadrate L'area di un parallelogramma è data dal prodotto dei lati adiacenti moltiplicato per il seno dell'angolo tra i lati. Qui i due lati adiacenti sono 7 e 3 e l'angolo tra loro è 7 pi / 12 Ora Sin 7 pi / 12 radianti = sin 105 gradi = 0.965925826 Sostituendo, A = 7 * 3 * 0.965925826 = 20.28444 unità sq.