Risposta:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Spiegazione:
Inizia utilizzando la regola di somma per gli integrali e suddividendoli in due integrali separati:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Il primo di questi mini-integrali è risolto utilizzando l'integrazione per parti:
Permettere # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# Dv = e ^ (2-x) DX> = intdv inte ^ (2-x) DX> v = -e ^ (2-x) #
Ora usando la formula dell'integrazione per parti # Intudv = uv-intvdu #, noi abbiamo:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Il secondo di questi è un caso della regola del potere inverso, che afferma:
# IntX ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Così # Int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Perciò, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (ricordati di aggiungere la costante di integrazione!)
Ci viene data la condizione iniziale #f (0) = 1 #, così:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Facendo questa sostituzione finale, otteniamo la nostra soluzione finale:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
